algoritmos y series numericas

Algoritmo

Los diagramas de flujo sirven para representar algoritmos de manera gráfica.disciplinas relacionadas, un algoritmo (del griego y latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al-Juarismi¹ ) es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia.

En la vida cotidiana, se emplean algoritmos frecuentemente para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemática son el algoritmo de multiplicación, para calcular el producto, el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones.

Historia del Algoritmo

La palabra algoritmo proviene del nombre del matemático llamado Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (hay muchas variantes para el nombre al usar el alfabeto latin, tales como Al-Khorezmi, Al-Khwarizmi, Al-Khawarizmi, Al-Khawaritzmi o Al-Khowarizmi) que vivió entre los siglos VIII y IX.

Su trabajo consistió en preservar y difundir el conocimiento de la antigua Grecia y de la India. Sus libros eran de fácil comprensión, de ahí que su principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas corrientes de pensamiento, sino el de simplificar las matemáticas a un nivel lo suficientemente bajo para que pudiera ser comprendido por un amplio público. Cabe destacar cómo señaló las virtudes del sistema decimal indio (en contra de los sistemas tradicionales árabes) y cómo explicó que, mediante una especificación clara y concisa de cómo calcular sistemáticamente, se podrían definir algoritmos que fueran usados en dispositivos mecánicos similares a un ábaco en vez de las manos. También estudió la manera de reducir el numero de operaciones necesarias que formaban el cálculo.

Por esta razón, aunque no haya sido él el inventor del primer algoritmo, merece que este concepto esté asociado a su nombre. Al-Khorezmi fue sin duda el primer pensador algorítmico.

Ya en el siglo XIX, se produjo el primer algoritmo escrito para un computador. La autora fue Ada Byron, en cuyos escritos se detallaban la máquina analítica en 1842. Por ello que es considerada por muchos como la primera programadora aunque, desde Charles Babbage, nadie completó su máquina, por lo que el algoritmo nunca se implementó.

La idea de resolver un problema o de disponer de un algoritmo es bastante antigua, tal es así, que existía la errada creencia que no había problema que no se pudiera resolver y en base a ello, el matemático David Hilbert quiso descubrir un algoritmo para los algoritmos. Hoy en dia gracias a los trabajos de Kurt Gödel, Alonzo Church (calculo lamba), Alan Turing (maquina de turing), se sabe que dentro del universo de problemas, una pequeña parte es computable, luego que el objetivo que perseguia David Hilbert no era computable, es lo que se ha denominado como la computabilidad de los algoritmos.

Características de los Algoritmos:

Un algoritmo debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso.
Un algoritmo debe estar definido. Si se sigue un algoritmo dos veces, se debe obtener el mismo resultado cada vez.
Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue un algoritmo se debe terminar en algún momento; o sea, debe tener un numero finito de pasos.
La definición de un algoritmo debe definir tres partes: Entrada, Proceso y Salida. En el algoritmo de receta de cocina citado anteriormente se tendrá:
Entrada: ingrediente y utensilios empleados.
Proceso: elaboración de la receta en la cocina.
Salida: terminación del plato (por ejemplo, cordero).

Ejemplo del Algoritmo:
Un cliente ejecuta un pedido a una fábrica. Esta examina en su banco de datos la ficha del cliente; si el cliente es solvente entonces la empresa acepta el pedido; en caso contrario rechazara el pedido. Redactar el algoritmo correspondiente.

Diseño del Algoritmo:

En la etapa de análisis del proceso de programación se determina que hace el programa. En la etapa de diseño se determina como hace el programa la tarea solicitada. Los métodos mas eficaces para el proceso de diseño se basan en el conocido por Divide y Vencerás, es decir, la resolución de un problema complejo se realiza dividiendo el problema en sub problemas y a continuación dividir estos sub problemas en otros de nivel mas bajo, hasta que pueda ser implementada una solución en la computadora. Este método se conoce técnicamente como diseño descendente (Top Down) o modular. El proceso de romper el problema en cada etapa y expresar cada paso en forma más detallada se denomina refinamiento sucesivo.
Cada sub programa es resuelto mediante un modulo (sub programa) que tiene un solo punto de entrada y un solo punto de salida.
Cualquier programa bien diseñado consta de un programa principal (el modulo de nivel mas alto) que llama a sub programas (módulos de nivel mas bajo) que a su vez pueden llamar a otros sub programas. Los programas estructurados de esta forma se dice que tienen un diseño modular y el método de romper el programa en módulos más pequeño se llama Programación Modular. Los módulos pueden ser planeados, codificados, comprobados y depurados independientemente (incluso por diferentes programadores) y a continuación combinarlos entre si. El proceso implica la ejecución de los siguientes pasos hasta que el programa se termina:

programar modulo.
Comprobar el modulo.
Si es necesario, depurar el modulo.
Combinar el modulo con los módulos anteriores.
El proceso que convierte los resultados del análisis del problema en un diseño modular con refinamiento sucesivo que permitan una posterior traducción al lenguaje se denomina diseño de algoritmo.

PROBLEMAS RESUELTOS DE ALGORITMOS

1.- Mostrar su nombre, sexo edad y estado civil, que son ingresados por teclado

ALGORITMO datopersonal

INICIO

CARACTER nombre[30], sexo, Ec

Entero edad

1.-LEER nombre, sexo, edad, Ec // Ec = estado civil

2.-MOSTRAR nombre, sexo, edad , Ec

FIN

2.- Ingresar por teclado el nombre y la edad de cualquier persona e imprima tanto el nombre como la edad

ALGORITMO edad

INICIO

CARACTER nombre[30].

Entero edad

1.-LEER nombre, edad

2.-MOSTRAR nombre, edad

FIN

3.- Ingresar por teclado el nombre y la edad de cualquier persona e imprima, solo si la persona es mayor de edad, el nombre de la persona.

ALGORITMO adulto

INICIO

CARACTER nombre

Entero edad

1.- LEER nombre, edad

2.- SI (edad >= 18)

ENTONCES

a)MOSTRAR nombre

FINSI

FIN

4.- .- Ingresar por teclado el nombre y la edad de cualquier persona e imprima solo si la persona es mayor de edad, el nombre de la persona, de lo contrario, imprima un mensaje que diga : “no puede votar”.

ALGORITMO votar

INICIO

Cadena nombre

Entero edad

1.-LEER nombre , edad

2.-SI ( edad >= 18) ENTONCES

a)MOSTRAR nombre

SINO

a)MOSTRAR “no puede votar”

FINSI

FIN

5.- Ingresar por teclado el nombre, la edad y el sexo de cualquier persona e imprima, solo si la persona es de sexo masculino y mayor de edad, el nombre de la persona. NOTA: suponga que en el campo denominado sexo el numero 1 es masculino o el numero 2 es femenino

ALGORITMO sex

INICIO

Cadena nombre

Entero sexo , edad

1.-LEER nombre, sexo, edad

2.-SI (sexo = 1) y (edad>= 18)

ENTONCES

a)MOSTRAR nombre.

FINSI

FIN

6.- Ingresar por teclado el nombre, la edad, el sexo (1 o 2) y el estado civil de cualquier persona e imprima solo si la persona es un hombre soltero mayor de edad, el nombre de la persona. NOTA: en el campo de estado civil se graba el numero 1 en vez de soltero, el numero 2 en vez de casado o el numero 3 en vez de otro.

ALGORITMO hombsolt

INICIO

Cadena nombre

Entero edad , sexo, ec // ec =estado civil.

1.-LEER nombre, edad, sexo, ec.

2.-SI (sexo = 1) y (ec = 1) y (edad >= 18)

ENTONCES

a)MOSTRAR nombre

FINSI

FIN

7.-Lea de un registro el nombre, la edad, el sexo y el estado civil de cualquier persona e imprima, solo si la persona es hombre o mujer menor de edad o es hombre casado de cualquier edad, el nombre de la persona y un mensaje que diga “usted no se manda”. En los demás casos imprima el nombre de la persona solamente.

ALGORITMO mensaje

INICIO

CARÁCTER nombre[30] , s, ec // s = sexo, e = edad

Entero, e // ec = estado civil

1.-LEER nombre, e, s, ec

2.-SI (s = “M”) o ((s = “F”) y (e < 18)) o ((s = “M”) y ( ec = “C”))

ENTONCES

a)MOSTRAR nombre, “usted no se manda”

SINO

a)MOSTRAR nombre.

FINSI

FIN

8.-Ingrese un numero e imprima el numero y el valor absoluto del mismo.

ALGORITMO valorabsoluto

INICIO

Real , x, VA // {x es el numero}

1.-LEER x

2.-VA ç abs (x)

3.- MOSTRAR VA // VA es el valor absoluto

FIN

9.-Ingrese un número y calcule e imprima su raíz cuadrada. Si el numero es negativo imprima el número y un mensaje que diga “tiene raíz imaginaria”

ALGORITMO RC

INICIO

Real ,num, RC

1.-LEER num

2.- SI (num >= 0)

ENTONCES

a. RC ß sqrt (num)

b. MOSTRAR RC

SINO

a. MOSTRAR num “tiene raíz imaginaria”

FINSI

FIN

10.-Ingrese dos números desde el teclado e imprima solo los positivos

ALGORITMO pos

INICIO

Real A, B

1.-LEER A, B

2.-SI (A>0)

ENTONCES MOSTRAR A

FINSI

3.-SI (B>0)

ENTONCES MOSTRAR B

FINSI

FIN

11.-Ingrese dos números desde el teclado e imprima ambos números sólo si son positivos

ALGORITMO numpos

INICIO

Real , A, B

1.-LEER A, B

2.-SI (A>0) y (B>0) ENTONCES

a)MOSTRAR A, B

FINSI

FIN

12.-Ingrese dos números desde el teclado e imprima ambos números si por lo menos uno de ellos es positivo

ALGORITMO num

INICIO

Real A ,B

1.-LEER A, B

2.-SI (A>0) o (B>0) ENTONCES

a) MOSTRAR A, B

FINSI

FIN

13.-Ingrese dos números desde el teclado e imprima ambos números solo si son de diferente signo y distintos de cero

ALGORITMO signosop

INICIO

Real A, B

1.-LEER A, B

2.-SI ( A¹ B ) y ( B¹0 ) ENTONCES

a) SI (A<0 ) y (B>0) o (A>0) y (B<0) ENTONCES

1) MOSTRAR A, B

FINSI

FIN

14.-Ingrese dos números desde el teclado. Calcule la suma e imprima los números leídos y la suma.

ALGORITMOsum

INICIO

Real, A, B, S // S, es la suma

1.- LEER A, B

2.- Sç A + B

3.- MOSTRAR A, B, S

FIN

15.- Lea dos números de un mismo registro. Calcule la suma de los números. Imprima los números leídos y sólo si suma es negativa. Imprímala también

ALGORITMOsuma

INICIO

Real A, B, S // S es la suma

1.- LEER A, B

2.- S ç A + B

3.- SI ( S < 0 ) ENTONCES

a) MOSTRAR A, B, S

SINO

a) MOSTRAR A, B

FINSI

FIN

16.- Lea dos números de un mismo registro y calcule el cociente de dividir el primero por el segundo. Imprima el cociente. Si el segundo número es cero no ejecute el cálculo e imprima un mensaje que diga : “la división no es posible”.

ALGORITMO cociente

INICIO

Real A, B , COC // COC es el cociente

1.-LEER A, B

2.- SI ( B = 0)

ENTONCES

a. MOSTRAR “la división no es posible”

SINO

a. COC ç A / B

b. MOSTRAR COC “es el cociente”

FINSI

FIN

17.- Leer de un mismo registro el nombre de un empleado, su salario básico por hora y el número de horas trabajadas en el mes. Calcular su salario mensual e imprimir tanto el nombre como su salario mensual

ALGORITMO salario

INICIO

Cadena nombre

Real SxH, SM // SxH es salario por hora, SM, salario mensual

Entero HT // HT es el número de horas trabajadas

1.- LEER nombre SxH, HT

2.- SM ç SxH * HT

3.- MOSTRAR nombre, SM

FIN

18.- Leer un número y calcular el 5% del número leído. Obtener tanto el número como el porcentaje calculado

ALGORITMO porciento

INICIO

Real Num , PC // PC es el porcentaje

1.- LEER , Num

2.- PC ç (5/100) * Num

3.- MOSTRAR PC, Num

series numéricas

DEFINICIÓN DESERIE NUMÉRICA

Una serie es una sucesión ordenada de elementos que guardan un vínculo entre sí. Numérico, por su parte, es aquello vinculado a los números.

Con estas definiciones en claro, podemos comprender a qué se refiere el concepto de serie numérica: se trata de una seguidilla de números. Puede entenderse, por lo tanto, como un conjunto ordenado de números.

Como los números son infinitos, la cantidad de series numéricas que pueden crearse también lo son. Supongamos que alguien desea detallar una serie numérica de números pares: dicha serie nunca tendrá final.

Las series numéricas, de todos modos, suelen acotarse a ciertos parámetros o instrucciones. Es habitual que los docentes pidan a sus alumnos que detallen los componentes de ciertas series numéricas a modo de ejercicio.

De este modo, un ejercicio de matemática puede pedir a los estudiantes que mencionen los componentes de una serie numérica de números impares cuyo número menor es 3 y su número mayor es 9. Esta serie numérica estará formada por 3, 5, 7 y 9.

En un sentido similar, una serie numérica de 5 en 5 que comience en 5 y llegue hasta 40 estará compuesta por los siguientes números: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 y 40.

Las series numéricas pueden ser ascendentes o descendentes. En los ejemplos mencionados anteriormente, las series eran ascendentes: iban del número menor al mayor. Una serie numérica descendente de números reales positivos y pares que comience en 12sería la siguiente: 12, 10, 8, 6, 4 y 2.

prueba tu conociendo y realiza el

siguiente test :

http://www.psicoactiva.com/tests/series.asp

http://ci-training.com/index.asp

Series numéricas

En febrero les pedimos que descifraran algunos patrones en varias series

de números. Éstas son las respuestas:

Observemos esta serie de números:

1, 3, 5, 7, 9, 11,...

¿Cuál es el patrón? ¿Cuáles son los tres números siguientes en la serie?

Respuesta: éstos son números impares. Son aquellos números que no

pueden ser divididos equitativamente por 2. Los tres números siguientes en

la serie son:

...13, 15, 17

Intenta con estas series

A continuación encontrarás otras series de números para descifrar.

Para cada serie, explica cuál es el patrón y busca los tres números siguientes

de la serie.

a. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Solución: éstos son números pares. La serie continúa de esta manera:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,..

b. 5, 10, 15, 20, 25, ...

Solución: múltiplos de cinco. Podemos continuar así:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...

c. 1, 4, 9, 16, 25, ... (pista: esta serie se relaciona con el

Solución: ésta es la secuencia de números cuadrados.

Se puede escribir así:
    1², 2², 3², 4², 5²,
y continúa
    1², 2², 3², 4², 5²,6², 7², 8²,
que es lo mismo que
    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...

d. 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...

Solución: éstos son los factoriales. El factorial de un número es el

producto de todos los números enteros positivos desde el 1 hasta

un número dado. El factorial de 3, que se escribe 3!, equivale a 1*2*3 = 6. 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24. Nuestra serie de factoriales se puede escribir de

esta manera
    1!, 2!, 3!, 4 !, 5!, 6!, ...
y podemos seguir:
    1!, 2!, 3!, 4 !, 5!, 6!, 7!, 8!, 9! ...
que es igual a
    1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880,...
Los factoriales aumentan muy rápidamente.

e. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

(pista: esta serie toma el nombre de un hombre que vivió en una ciudad

muy conocida porque tenía una torre de piedra que no es

exactamente vertical).

Solución: nuestra pista fue que esta serie toma el nombre de un hombre

que vivió en una ciudad muy conocida porque tenía una torre de piedra

que no es exactamente vertical. Nos referíamos a Pisa en Italia, que tiene

una famosa torre inclinada. Un hombre llamado Leonardo vivió en Pisa

en la década de 1200. Su apodo era Fibonacci, y la serie de números

que él descubrió lleva su nombre. Cada número de la serie es el

resultado de la suma de los dos números previos.

    1 + 1 = 2
    1 + 2 = 3
    2 + 3 = 5
    3 + 5 = 8 ...
La serie continúa de esta manera:
    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Fibonacci descubrió la serie al observar y pensar sobre el crecimiento de

una población de conejos. Haz clicaquí para conocer más sobre este

tema y sobre otras situaciones interesantes en las cuales se presenta

la serie de Fibonacci en la naturaleza.


Los cuadrados de este patrón siguen la secuencia de Fibonacci. A medida que el patrón continúa y el rectángulo crece, la proporción entre el ancho y el largo de cada rectángulo se aproxima más y más a 1,618034, un número conocido como La razón dorada.	Si dibujamos la cuarta parte de un círculo en cada uno de los cuadrados se forma un patrón de espiral que es muy similar al de las conchas de mar, incluso el Chambered Nautilus.

f. 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7,...